Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A . Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.

Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС , и построить у его концов углы а и b (черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину F треугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEF равен треугольнику АВС ; действительно, если представим себе, что треугольник DEF наложен на ABC так, что сторона DE совпала с равной ей стороною ВС , то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DF пойдет по стороне ВA , а сторона EF по стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина F должна совпасть с вершиной A . Значит, расстояние DF равно искомому расстоянию ВА.

Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС ;

по двум сторонам и углу между ними: СУС ;

по стороне и двум углам: УСУ .

Применения

14. Чтобы узнать расстояние до точки A на другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС , по другую сторону ВС , а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки D пересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ . Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ABC и ВDС равны по одной стороне (ВС ) и двум углам (уг. DCB = уг. АСВ ; уг. DBC = уг. ABC .) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.

Цели урока:

• максимально донести до учащихся изучаемый материал;
• развивать мышление, память, умение свободно пользоваться циркулем;
• попытаться повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

Оборудование:

• школьный циркуль
• транспортир,
• линейка,
• карточки для самостоятельной работы.

ХОД УРОКА

Тема урока: «Задачи на построение».

Сегодня мы будем учиться строить треугольники по трем заданным элементам с помощью циркуля и линейки.

Чтобы построить треугольник, нужно сначала уметь строить отрезок, равный заданному, и угол, равный заданному. Конечно, можно это сделать с помощью линейки с делениями и транспортира, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без делений.

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа:

• анализ;
• построение;
• доказательство;
• исследование.

Анализ и исследование задачи необходимы так же, как и само построение. Необходимо посмотреть, в каких случаях задача имеет решение, а в каких – решения нет.

1. Построение отрезка, равного заданному.

2. Строим угол, равный заданному, с помощью циркуля и линейки.

А вот теперь перейдем к построению треугольников по трем элементам.

3. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Схема №3.

Дано	Требуется построить	Построение
1. Построить угол А, равный заданному углу. 2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b. 3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с. 4. Соединить с помощью линейки точки В и С. Построен треугольник АСВ по двум сторонам и углу между ними.

Самостоятельная работа к схеме 3.

Вариант 1.

Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4 см, С = 35є.

Вариант 2.

Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 110є.

Подсказка. Перед построением треугольника необходимо сделать «от руки» чертеж треугольника, где показаны все заданные элементы.

4. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано	Требуется построить	Построение
1. Произвольно начертить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Построить угол А, равный заданному. 3. Построить угол В, равный заданному. Точка пересечения двух сторон углов А и В – вершина треугольника С. Построили треугольник АСВ по стороне и двум заданным углам.

Самостоятельная работа к схеме 4.

Вариант 1

Построить треугольник КМО, если КО = 6 см, К = 130є, О = 20є.

Вариант 2

Построить треугольник ВСР, если С = 15є, Д = 50є, СД = 3 см.

5. Построение треугольника по трем сторонам.

Дано После построения любого треугольника, самостоятельно провести доказательство того, что получившийся треугольник – искомый, и по возможности провести исследование.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется при соединении отрезками трёх точек, не принадлежащих одной прямой. Он однозначно определяется набором из трёх данных: тремя сторонами, двумя сторонами и углом между ними, или стороной и двумя прилежащими углами.

В качестве примера попробуем построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам?

Быстрая навигация по статье

Строим треугольник

Первым делом на прямой откладывается отрезок, равный длине заданной стороны. Концы отрезка отмечаем точками А и В.

Чтобы построить треугольник, нужно от точек А и В отложить заданные углы. Если заданы величины углов, то для построения воспользуйтесь транспортиром:

• Нижнюю планку транспортира выравниваем по отрезку прямой;
• Начало отсчёта устанавливаем в точке А для первого угла и в точке В — для второго;
• Затем откладываем величины углов. Рядом с соответствующим делением шкалы ставим точки и обозначаем их М и N;
• Соединяем прямыми точки А и М, В и N. Пересечение построенных прямых будет третьей последней вершиной треугольника С.

Таким образом по данной стороне и двум заданным прилежащим углам построен треугольник.

Графический угол

Часто для построения треугольника по данной стороне и двум заданным прилежащим углам, углы задаются графически. Задача усложняется, так как нужно построить угол, равный по величине заданному графическому углу.

Можно измерить величину заданного графически угла с помощью транспортира и получить величины прилежащих углов, а затем воспользоваться методом, описанным в предыдущем пункте и построить треугольник.

Используем циркуль

Для другого способа построения угла, соответствующего по величине заданному, понадобится циркуль:

• Циркулем, с произвольным раствором, проводится окружность с центром в начальной точке угла. Пересечения окружности и сторон угла обозначим М и N;
• Теперь вернёмся к отрезку АВ, равному стороне нужного треугольника. Не меняя раствор, от точки А проведите окружность и отметьте точку пересечения ее с отрезком АВ — получаем точку М1;
• Вернитесь к заданному углу. Поставьте ножку циркуля в точку М и сделайте раствор равным МN;
• Теперь, не меняя раствор циркуля, от точки М1 проведите окружность до пересечения её с первой окружностью — получаем точку N1;
• Соедините прямой точки А и N1. Угол М1АN1 и будет равен заданному;
• Так же строим второй угол в точке В. Пересечение сторон построенных углов и будет недостающей вершиной С.

Таким способом строиться треугольник с помощью циркуля по стороне и двум данным прилежащим углам при помощи циркуля.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №68 г. Челябинска

Адрес: 454078, 0а

E-mail: *****@***ru

Задачи на построение.

Построение треугольника по трем элементам.

Ф. И.О.:

Должность: учитель математики

Предмет: геометрия

Челябинск, 2015

Предмет: Геометрия

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам.

Технология: Компьютерная (новая информационная) технология обучения

Конспект учебного занятия:

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам. Класс: 7

Дата:

Оборудование: циркуль, транспортир, линейка, компьютер, проектор, презентация, рабочая карточка для каждого ученика (Приложение 1 ), карточка с домашним заданием для каждого ученика (Приложение 2 ).

Учебник: Геометрия: учеб. Для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ , и др.- М.: Просвещение, 2010 – 384с.

Форма урока: Изучение нового материала. Практическая работа

Цели урока:

1. Образовательная

1) Обобщить знания по теме: «Задачи на построение с помощью циркуля и линейки»;

2) Отработать навыки построения треугольника по трем его элементам.

2. Развивающая

1) Способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

2) Способствовать развитию памяти учащихся.

3. Воспитательная

1) Способствовать воспитанию интереса к предмету;

2) Способствовать воспитанию личностных качеств: активности, самостоятельности, аккуратности в работе.

План урока (45 мин):

1. Организационный момент (3 мин)

2. Повторение (8 мин)

3. Изучение нового материала (20 мин)

4. Физкультминутка (2 мин)

5. Первичное закрепление (5 мин)

6. Итог урока (3 мин)

7. Ответы на вопросы учащихся (2 мин)

8. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие учащихся.

2. Повторение

На дом учащимся было задано задание повторить задачи на построение с помощью циркуля и линейки: построить отрезок, равный данному; построить угол, равный данному.

1) Сегодняшний урок мы начнем с проверки домашнего задания, а поможет нам в этом компьютер. Итак, все внимание на экран.

(проверка домашнего задания, презентация)

2) Какие теоремы мы использовали при доказательстве в этих задачах на построение? (первый, второй и третий признак равенства треугольников)

Учащиеся формулируют эти признаки:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Таким образом, для успешного изучения задач на построение нам необходимо знать:

1. Во-первых, как строить отрезок равный данному и угол равный данному.

2. Во-вторых, признаки равенства треугольников.

3. Изучение нового материала

Тема сегодняшнего урока: «Построение треугольника по трем его элементам».

Давайте с вами подумаем и ответим на такой вопрос: «Какие элементы есть в треугольнике?» (3 угла и 3 стороны ). Таким образом, получается всего 6 элементов. А нам для построения треугольника необходимо всего 3. Давайте с вами подумаем над таким вопросом: «Какие 3 элемента необходимы для построения треугольника?» (2 стороны и 1 угол, 2 угла и 1 сторона, 3 стороны, а 3 угла – не подходят, т. к. треугольники мы получим не равные, а подобные. Что это означает, мы с вами будем изучать в 8 классе ).

Цель нашего урока: рассмотреть и доказать алгоритмы задач на построение треугольника по трем его элементам с помощью циркуля и линейки. А именно:

1) Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними;

2) Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к нему углам;

3) Построить треугольник по трем сторонам.

Таким образом, чтобы построить треугольник по трем элементам, нужно сначала уметь строить отрезок, равный данному и угол равный данному. Конечно, это можно сделать с помощью линейки с делениями и транспортиром, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без деления.

Любая задача на построение состоит из 4 основных этапов:

2. Построение

3. Доказательство

4. Исследование

Анализ. На этом этапе происходит отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.

Построение – происходит построение по намеченному плану.

Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи.

Исследование задачи, т. е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько именно.

Обращаю ваше внимание на то, что в 7 классе этап анализа решения задачи не проводится, т. е. мы ограничиваемся только тремя этапами: построение, доказательство, исследование.

Итак, приступим к построению треугольника по 3 его элементам.

Начнем с задачи №1: Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними.

Дано:

Построение:

1. Построить угол М, равный заданному углу А.

2. На одной стороне угла отметить точку К так, чтобы отрезок МК был равен заданному отрезку АВ.

https://pandia.ru/text/80/029/images/image006_3.png" width="16" height="10"> M = A

5) ∆MKN - искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по первому признаку

Исследование: задача всегда имеет 4 решения.

Давайте с вами подумаем и ответим на вопрос: Чему равна сумма всех углов треугольника? (1800 ) А может она быть больше 1800? (Нет ) А может она быть меньше 1800? (Нет )

Задача №2: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дано:

Построение:

2. Построить угол M, равный заданному углу А.

3. Построить угол N, равный заданному углу B.

4. Точка пересечения двух сторон углов M и N – вершина треугольника K.

5. Построен треугольник MKN по стороне и двум заданным углам.

Запись на доске:

1) https://pandia.ru/text/80/029/images/image006_3.png" width="16" height="10 src="> M = A

3) https://pandia.ru/text/80/029/images/image006_3.png" width="16" height="10"> N = B

4) https://pandia.ru/text/80/029/images/image006_3.png" width="16" height="10"> M ∩ N =K

5) ∆MKN - искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по второму признаку

Исследование: задача всегда имеет 2 решения, если сумма двух углов треугольника меньше 1800.

Прежде, чем приступить к решению третей задачи, давайте с вами вспомним, а какое условие должно выполняться, чтобы треугольник существовал?

(Должны выполняться неравенства треугольника, т. е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.)

https://pandia.ru/text/80/029/images/image012_2.png" width="299" height="286 src=">Дано:

Построение:

1. Построить отрезок MN, равный заданному отрезку AB.

2. Из точки M провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку АС.

3. Из точки N провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку CB.

4. Эти окружности пересекаются в точке К.

5. Соединяем точку М с точкой К и точку N с точкой К.

6. Построен треугольник MKN по трем сторонам.

Запись на доске:

2) Окр1 (M, AC)

3) Окр2 (N, CB)

4) Окр1∩Окр2=К

6) ∆MKN - искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по третьему признаку

Исследование: задача имеет 2 решения, если выполняются неравенства треугольника, т. е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. Иначе, решений нет.

4. Физкультминутка

(Проводит один из учеников, по желанию)

Одолела вас дремота, (Зеваем )

Шевельнуться неохота?

Ну-ка, делайте со мною

Упражнение такое:

Вверх, вниз потянись, (Руки вверх, потянулись )

Окончательно проснись.

Руки вытянуть пошире. (Руки в стороны )

Раз, два, три, четыре.

Наклониться - пять, шесть (Наклоны туловища)

И на месте поскакать. (Прыжки на месте )

На носок, потом на пятку.

Все мы делаем зарядку.

5. Первичное закрепление

После отдыха учащиеся самостоятельно решают задачи, а учитель ходит и контролирует правильность выполнения заданий. Если кто-то не справляется, учитель объясняет план решения задачи. Те учащиеся, которые самостоятельно справились с решением задач, получают оценки. (Приложение 1 )

6. Итог урока

1) Что нового узнали на уроке? (С помощью циркуля и линейки можно строить не только отрезок равный данному и угол равный данному, а еще и треугольники по трем его элементам )

2) Всегда ли можно построить треугольник по трем его сторонам? (Нет, это возможно, только если выполняются неравенства треугольника, т. е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон )

3) Выставление оценок за урок.

7. Ответы на вопросы учащихся

8. Домашнее задание (Приложение 2 )

3) Построить треугольник МНО, если МН = 1 см, НО = 4 см, ОМ = 3 см.

Подсказка.

Приложение 1

Вариант 1.

Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4 см, С = 350.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Вариант 3

Построить треугольник ОДЕ, если ОД = 4 см, ДЕ = 2 см, ЕО = 3 см.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Приложение 2

Домашнее задание по геометрии

1) Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 1100.

2) Построить треугольник ВСР, если С = 150, Д = 500, СД = 3 см.

3) Построить треугольник МНО, если МН = 5 см, НО = 4 см, ОМ = 3 см.

Подсказка. Перед построением треугольника необходимо построить все заданные элементы в натуральную величину.

Тема урока: Построение треугольника по трём элементам

Цель урока: научиться строить треугольники по трём элементам

Задачи урока: построение треугольника при помощи линейки и циркуля

Ход урока:

1 этап: орг момент, приветствие, проверка домашнего задания

2 этап: новая тема

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними .

Даны два отрезка a и b , они равны сторонам искомого треугольника, и угол ∡ 1 , равный углу треугольника между сторонами. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данным отрезкам и углу.

1. Провести прямую.

A a .

∡ 1 (вершина угла A

4. На другой стороне угла отложить отрезок, равный данному отрезку b .

5. Соединить концы отрезков.

Согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам .

Дан отрезок a и два угла ∡ 1 и ∡ 2 , равные углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данному отрезку и углам.

1. Провести прямую.

2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a B .

3. Построить угол, равный данному ∡ 1 (вершина угла A , одна сторона угла лежит на прямой).

4. Построить угол, равный данному ∡ 2 (вершина угла B , одна сторона угла лежит на прямой).

5. Точка пересечения других сторон углов является третьей вершиной искомого треугольника.

Согласно признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.

Построение треугольника по трём сторонам .

Даны три отрезка: a , b и c , равные сторонам искомого треугольника. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными данным отрезкам.

В этом случае перед началом построения необходимо убедиться, исполняется ли неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух остальных отрезков), и эти отрезки могут быть сторонами треугольника.

1. Провести прямую.

2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a , и отметить другой конец отрезка B .

3. Провести окружность с центром A и радиусом, равным отрезку b .

4. Провести окружность с центром B и радиусом, равным отрезку c .

5. Точка пересечения окружностей является третьей вершиной искомого треугольника

Согласно признаку равенства треугольников по трём сторонам, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные стороны.

3 этап: решение задач

№ 239 стр 74

постройте прямоугольный треугольник по двум катетам

4 этап: подведение итогов

5 этап: домашнее задание № 240 стр 74