Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение.

Запишем 1-ое уравнение системы в виде: x 2 + 5x + y 2 -y -52 = |x-5y +5|. (*)

1) Так как правая часть равенства неотрицательна, то и левая часть равенства должна быть таковой, а именно: x 2 + 5x + y 2 -y-52 ≥ 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 5x) и (y 2 - y) полные квадраты двучленов.

x 2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,5 2 -2,5 2 + y 2 -2∙y∙0,5 + 0,5 2 -0,5 2 -52 ≥ 0;

(x 2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,5 2) + (y 2 -2 ∙ y ∙ 0,5 + 0,5 2) ≥ 52 + 2,5 2 + 0,5 2 ;

(х + 2,5) 2 + (у-0,5) 2 ≥ 52 + 6,25 + 0,25;

(х + 2,5) 2 + (у-0,5) 2 ≥ 58,5. ОДЗ : решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5) и радиусом

2) Раскроем модульные скобки в уравнении (*), считая, что выражение под знаком модуля неотрицательно, т.е. х-5у +5 ≥ 0 или 5у ≤ х + 5, отсюда у ≤ 0,2х+1. Тогда равенство (*) запишется в виде:

x 2 + 5x + y 2 -y-52 = x-5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.

x 2 + 5x + y 2 -y-52-x + 5y-5 = 0;

x 2 + 4x + y 2 + 4у-57 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 4x) и (y 2 + 4y) полные квадраты двучленов.

x 2 + 4x + 4-4 + y 2 + 4у +4-4-57 = 0;

(x 2 + 4x + 4) + (y 2 + 4у +4) = 57 + 4 + 4;

(х + 2) 2 + (у + 2) 2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О 1 (-2; -2) и радиусом

Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии, что х-5у +5 ≥ 0, т.е. при у ≤ 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие ниже прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.

3) Теперь раскроем модульные скобки в уравнении (*), считая, что выражение под знаком модуля отрицательно, т.е. х-5у +5 < 0 или 5у > х + 5, отсюда у>0,2х+1. Тогда равенство (*) запишется в виде:

x 2 + 5x + y 2 -y-52 = -x + 5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.

x 2 + 5x + y 2 -y-52 + x-5y + 5 = 0;

x 2 + 6x + y 2 -6у-47 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 6x) и (y 2 -6y) полные квадраты двучленов.

x 2 + 6x + 9-9 + y 2 -6у + 9-9-47 = 0;

(x 2 + 6x + 9) + (y 2 -6у +9) = 47 + 9 + 9;

(х + 3) 2 + (у-3) 2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О 2 (-3; 3) и радиусом

Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат выше прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии х-5у +5 < 0, т.е. при условии у > 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие выше прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.

4) Найдем точки пересечения окружностей с центрами в точках О 1 и О 2 . Это также точки пересечения любой из этих окружностей с прямой х-5у +5 = 0. Для определенности возьмем уравнение первой из окружностей и решим систему:

Из 2-го уравнения выразим х через у и подставим в 1-ое уравнение.

Упростим и решим 2-ое уравнение полученной системы.

(5у-3) 2 + (у + 2) 2 = 65;

25у 2 -30у + 9 + у 2 +4у + 4-65 = 0;

26у 2 -26у-52 = 0;

у 2 -у-2 = 0. По теореме Виета у 1 + у 2 =1, у 1 ∙ у 2 = -2. Отсюда у 1 = -1, у 2 = 2.

Тогда х 1 = 5 ∙ у 1 -5 = 5 ∙ (-1)-5 = -10; х 2 = 5 ∙ у 2 -5 = 5 ∙ 2-5 = 2.

Точки пересечения окружностей с центрами О 1 и О 2 лежат на прямой х-5у +5 = 0, и это точки Т(-10; -1) и А(5; 2).

5) Разберемся, что представляет собой прямая у-2 = а(х-5). Запишем это уравнение в виде у = а(х-5) + 2 и вспомним, как получается график функции y = f (x- m ) + n из графика функции y = f (x ). Он получается переносом графика функции y = f (x ) на m единичных отрезков вдоль оси Ох и на n единичных отрезков вдоль оси Оу. Следовательно, график функции у = а(х-5) + 2 можно получить из графика функции у = ах переносом на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Другими словами, прямая пройдет через точку А(5; 2) и должна иметь такой угловой коэффициент а , чтобы пересечь наши окружности с центрами в точках О 1 и О 2 ровно в двух точках. Это произойдет только в тех случаях, когда прямая, проходя через точку А, общую для обеих окружностей, далее будет пересекать только одну из них. Предельными положениями нашей прямой (с параметром а ) будут касательные к окружностям в точке А. Нам понадобятся не сами уравнения касательных, но их угловые коэффициенты. Как мы их получим?

6) Радиус О 1 А, проведенный в точку касания будет перпендикулярен касательной. Угловые коэффициенты k 1 и k 2 двух взаимно перпендикулярных прямых y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 подчиняются закону: k 1 ∙ k 2 = -1. Составим уравнения прямой О 1 А и прямой О 2 А, определим угловой коэффициент каждой прямой, а затем найдем угловые коэффициенты касательных, являющихся предельными положениями прямой у = а(х-5) + 2. Промежуток между найденными значениями параметра а и будет ответом задачи.

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две данные точки (х 1 ; у 1) и (х 2 ; у 2). Эта формула имеет вид:

Составим уравнение прямой, проходящей через точки О 1 (-2; -2) и А(5; 2). У нас х 1 = -2, у 1 = -2, х 2 = 5, у 2 = 2. Подставляем эти значения в формулу:

Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О 1 имеет вид.

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Пример 2. ах = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

при а = 1 корней нет.

при а = 3 корней нет.

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 решений нет.

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

при а = -с , с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5

По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0

а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9

(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а (а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
а = 4

(Рис. 2 )

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.

Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау 2 –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x 2 + 2x + a - 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a 2 - 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a 2 -4(8a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a 2 -8a -3 > 0, откуда

2. Ответ:

3. Задача.
Известно, что
f 2 (x ) = 6x -x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 (x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 (x ) и f 2 (x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 (x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx +b и y = ax 2 +bx +c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx +b = ax 2 +bx +c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6x -x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x -a = 6x -x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2ax -3a і 0 содержит отрезок .

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f (x ) = x 2 -2ax -3a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f (x ) і 0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2a -2)x - 3a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 +a -6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

5. Ответ: 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2-a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О ∪{8}∪∪{8}∪∪{8}∪∪{8}∪∪{8}∪}