Es besteht darin, dass mit starken Stahlrahmen verstärkter Beton ein hochfester Baustoff ist und keinen zahlreichen Umwelteinflüssen ausgesetzt ist, wodurch die Konstruktion des Fundaments einer Freileitungsstütze in der Lage ist, Stahl und Bewehrung zu tragen Beton-Stromleitungsstützen über Jahrzehnte ohne die Gefahr eines Umkippens. Haltbarkeit, Belastungsbeständigkeit und Festigkeit sind die Hauptvorteile der Verwendung von Stahlbetonfundamenten FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen im Energiebau.

Stahlbetonfundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen, 330-kV-Einkreis-Freileitungen bestehen aus Schwerbeton mit einer Druckfestigkeitsklasse von mindestens B30, Güteklasse – ab M300. Die Betonqualität für Frostbeständigkeit beträgt nicht weniger als F150, für Wasserbeständigkeit - W4 - W6. Zement und Inerte, die zur Herstellung von Beton verwendet werden, müssen die Anforderungen von SNiP I-B.3-62 und TP4-68 erfüllen. Die Größtkorngröße im Betongefüge sollte 20-40 mm nicht überschreiten. Kontrolle der Betonfestigkeit von Stützfundamenten gemäß GOST 10180-67 „Schwerbeton. Methoden zur Festigkeitsbestimmung“ und GOST 10181-62 „Schwerbeton“. Methoden zur Bestimmung der Beweglichkeit und Steifigkeit einer Betonmischung.“

Als Bewehrung werden Fundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen, 330-kV-Einkreis-Freileitungen verwendet: warmgewalzte Bewehrungsstahlstäbe der Klasse A-I, warmgewalzte Bewehrungsstahlstäbe von periodisches Profil der Klasse A-III, Bewehrungsstahlstäbe der periodischen Profilklasse A-IV und gewöhnlicher Bewehrungsdraht der Klasse B1. Für die Montageschlaufen wird ausschließlich warmgewalzte Stabbewehrung der Klasse A-I aus Kohlenstoff-Flussstahl verwendet.

Die Fundamente von Stromleitungsstützen für den Energiebau stehen vor einer verantwortungsvollen Aufgabe – die Stabilität und Festigkeit von Stromleitungsstützen über viele Jahre hinweg bei unterschiedlichen klimatischen Bedingungen, zu jeder Jahreszeit und bei jedem Wetter aufrechtzuerhalten. Daher werden an Stützfundamente sehr hohe Anforderungen gestellt. Vor dem Versand an den Kunden werden die Fundamente der FP2,7x2,7-A-Stützen für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen nach verschiedenen Parametern, beispielsweise dem Grad der Stabilität, geprüft , Festigkeit, Haltbarkeit und Verschleißfestigkeit, Beständigkeit gegen negative Temperaturen und atmosphärische Einflüsse. Vor dem Schweißen müssen die Verbindungsteile frei von Rost sein. Stahlbetonfundamente mit einer Betonschutzschichtdicke von weniger als 30 mm sowie Fundamente, die in aggressiven Böden errichtet werden, müssen durch eine Abdichtung geschützt werden.

Während des Betriebs unterliegen Fundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen einer sorgfältigen Überwachung, insbesondere in den ersten Betriebsjahren der Freileitung. Einer der schwerwiegendsten Mängel beim Bau von Fundamenten, der unter Betriebsbedingungen nur schwer zu beseitigen ist, ist ein Verstoß gegen technologische Standards bei der Herstellung: Verwendung von minderwertigem oder schlecht gewaschenem Kies, Verletzung der Proportionen bei der Herstellung einer Betonmischung usw . Ein ebenso schwerwiegender Mangel ist das schichtweise Betonieren von Fundamenten, wenn einzelne Elemente desselben Fundaments zu unterschiedlichen Zeitpunkten ohne vorherige Oberflächenvorbereitung betoniert werden. In diesem Fall bindet der Beton eines Fundamentelements nicht mit einem anderen und es kann zu einer Zerstörung des Fundaments bei äußeren Belastungen kommen, die deutlich geringer sind als die berechneten.

Auch bei der Herstellung von Stahlbetonfundamenten für Stützen kommt es manchmal zu Verstößen gegen Normen: Es wird minderwertiger Beton verwendet, die Bewehrung wird in den im Projekt vorgesehenen falschen Abmessungen verlegt. Beim Bau von Stromleitungen auf vorgefertigten oder gepfählten Stahlbetonfundamenten können gravierende Mängel auftreten, die vom Energiebau nicht zugelassen werden. Zu diesen Mängeln zählen die Installation gebrochener Stahlbetonfundamente, deren unzureichendes Eindringen in den Boden (insbesondere bei der Installation von Stützen an Hängen von Hügeln und Schluchten), unsachgemäße Verdichtung beim Verfüllen, Installation vorgefertigter Fundamente kleinerer Größe usw. Zu den Installationsfehlern zählen fehlerhafte Installation von Stahlbetonfundamenten, bei der einzelne vorgefertigte Fundamente, die als Basis für eine Metallstütze dienen sollen, unterschiedliche vertikale Höhen oder Verschiebungen einzelner Fundamente im Grundriss aufweisen. Bei unsachgemäßer Entlastung können die Fundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen, 330-kV-Einkreis-Freileitungen beschädigt werden, Betonsplitter und Bewehrung können freigelegt werden. Bei der Abnahme ist besonders auf die Übereinstimmung der Ankerbolzen und ihrer Muttern mit den Bemessungsmaßen zu achten.

Unter Betriebsbedingungen werden Stahlbetonfundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen sowohl durch Umwelteinflüsse als auch durch große äußere Belastungen beschädigt. Die Bewehrung von Fundamenten mit Porenbetonstruktur wird durch die aggressive Einwirkung des Grundwassers beschädigt. Risse, die sich an der Oberfläche von Fundamenten bilden, dehnen sich bei betriebsbedingten Wechselbelastungen sowie Wind, Feuchtigkeit und niedrigen Temperaturen aus, was letztlich zur Zerstörung des Betons und zur Freilegung der Bewehrung führt. In Bereichen in der Nähe von Chemiefabriken verschlechtern sich Ankerbolzen und der obere Teil von Metallfußstützen schnell.

Ein Bruch des Stützfundaments kann auch durch eine Fehlausrichtung mit den Regalen entstehen, was zu großen Biegemomenten führt. Ein ähnlicher Zusammenbruch kann auftreten, wenn der Fundamentsockel vom Grundwasser weggespült wird und von seiner vertikalen Position abweicht.

Während des Abnahmeprozesses werden FP2,7x2,7-A-Fundamente für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen auf Übereinstimmung mit der Konstruktion, Verlegetiefe, Betonqualität und Qualität überprüft Schweißen von Arbeitsbewehrungen und Ankerbolzen, Vorhandensein und Qualität des Schutzes gegen die Einwirkung aggressiver Gewässer. Die vertikalen Markierungen der Fundamente werden gemessen und die Lage der Ankerbolzen anhand der Schablone überprüft. Wenn eine Nichteinhaltung der Normen festgestellt wird, werden alle Mängel vor der Verfüllung der Gruben beseitigt. Fundamente mit abgesplittertem Beton und freiliegender Bewehrung im oberen Teil werden repariert. Dazu wird ein 10-20 cm dicker Betonrahmen eingebaut, der 20-30 cm unter der Erdoberfläche vergraben wird. Dabei ist zu beachten, dass im Energiebau kein Rahmen aus Schlackenbeton zulässig ist, da die Schlacke eine Beimischung enthält Schwefel, der zu starker Korrosion der Bewehrung und der Anker führt Bei größeren Schäden an Fundamenten (auch monolithischen) wird der beschädigte Teil mit einer an die Bewehrung des Hauptfundaments angeschweißten Bewehrung abgedeckt und nach dem Einbau der Schalung betoniert.

Das Kabel LSV 2-7 16x0,12 gehört zu den Bandqualitäten, die erfolgreich für die geräteinterne und geräteübergreifende Installation von elektrischen und radioelektronischen Geräten eingesetzt werden, die in Stromnetzen mit 350 V Gleichstrom oder 250 V betrieben werden Wechselspannung mit Frequenzen bis 50 Hz. Die Hardware-Installation erfolgt unter Beteiligung verschiedener Arten von Steckverbindern, dem Einsatz von Crimp- und Kontaktverbindern, bei denen die Isolierung durch Löten durchstoßen werden kann, sowie Klebstoffen und Lacken, die die Isolierung nicht angreifen. Die Isolierung wird nicht beeinträchtigt, wenn die Adern durch eine Brücke getrennt werden. Die Marke hält dem Einfluss von Sinusvibrationen, akustischen Geräuschen, linearer Beschleunigung sowie einzelnen und mehreren mechanischen Stößen perfekt stand.

Erklärung zur Kennzeichnung LSV 2-7 16x0,12:

• L - Band
• S - seriell
• B - PVC-Isolierung

Strukturelemente des Kabels LSV 2-7 16x0,12

1. Eindrähtiger Innenleiter aus verzinntem Kupfer
2. Polymer-PVC-Isolierung

Technische Parameter des Kabels LSV 2-7 16x0,12

Zertifikate und Garantien

Der Algorithmus zum Finden dieser Punkte wurde bereits mehrfach besprochen, ich wiederhole ihn jedoch kurz:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

2. Finden Sie die Nullstellen der Ableitung (setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und lösen Sie die Gleichung).

3. Als nächstes erstellen wir einen Zahlenstrahl, markieren darauf die gefundenen Punkte und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung auf den resultierenden Intervallen. *Dies geschieht durch Einsetzen beliebiger Werte aus den Intervallen in die Ableitung.

Wenn Sie mit den Eigenschaften von Ableitungen zur Untersuchung von Funktionen überhaupt nicht vertraut sind, lesen Sie unbedingt den Artikel« ». Wiederholen Sie auch die Ableitungstabelle und die Differenzierungsregeln (im selben Artikel verfügbar). Betrachten wir die Aufgaben:

77431. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion y = x 3 –5x 2 +7x–5.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

3x 2 – 10x + 7 = 0

y(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

y(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

y(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

Am Punkt x = 1 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von positiv nach negativ, was bedeutet, dass dies der gewünschte Maximalpunkt ist.

Antwort 1

77432. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion y = x 3 +5x 2 +7x–5.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

3x 2 + 10x + 7 = 0

Wenn wir die quadratische Gleichung lösen, erhalten wir:

Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung der Funktion nach Intervallen und markieren sie auf der Skizze. Wir ersetzen einen beliebigen Wert aus jedem Intervall in den Ableitungsausdruck:

y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

Am Punkt x = –1 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von negativ nach positiv, was bedeutet, dass dies der gewünschte Minimalpunkt ist.

Antwort 1

77435. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion y = 7 + 12x – x 3

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

12 – 3x 2 = 0

x 2 = 4

Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir:

*Dies sind Punkte des möglichen Maximums (Minimums) der Funktion.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung der Funktion nach Intervallen und markieren sie auf der Skizze. Wir ersetzen einen beliebigen Wert aus jedem Intervall in den Ableitungsausdruck:

y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

Am Punkt x = 2 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von positiv nach negativ, was bedeutet, dass dies der gewünschte Maximalpunkt ist.

Antwort: 2

*Für die gleiche Funktion ist der minimale Punkt der Punkt x = – 2.

77439. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion y = 9x 2 – x 3.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir:

Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung der Funktion nach Intervallen und markieren sie auf der Skizze. Wir ersetzen einen beliebigen Wert aus jedem Intervall in den Ableitungsausdruck:

y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

y(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

Am Punkt x = 6 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von positiv nach negativ, was bedeutet, dass dies der gewünschte Maximalpunkt ist.

Antwort: 6

*Für die gleiche Funktion ist der minimale Punkt der Punkt x = 0.

77443. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion y = (x 3 /3)–9x–7.

Finden wir die Ableitung der Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

x 2 – 9 = 0

x 2 = 9

Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir:

Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung der Funktion nach Intervallen und markieren sie auf der Skizze. Wir ersetzen einen beliebigen Wert aus jedem Intervall in den Ableitungsausdruck:

y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

y(0) "= 0 2 – 9 < 0

y(4) "= 4 2 – 9 > 0

Am Punkt x = – 3 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von positiv nach negativ, was bedeutet, dass dies der gewünschte Maximalpunkt ist.

Antwort: – 3

Es besteht darin, dass mit starken Stahlrahmen verstärkter Beton ein hochfester Baustoff ist und keinen zahlreichen Umwelteinflüssen ausgesetzt ist, wodurch die Konstruktion des Fundaments einer Freileitungsstütze in der Lage ist, Stahl und Bewehrung zu tragen Beton-Stromleitungsstützen über Jahrzehnte ohne die Gefahr eines Umkippens. Haltbarkeit, Belastbarkeit und Festigkeit sind die Hauptvorteile der Verwendung von Stahlbetonfundamenten MF2x2,7-0 geringer Tiefe im Energiebau.

Stahlbetonfundamente MF2x2,7-0 flach bestehen aus schwerem Beton mit einer Druckfestigkeitsklasse von mindestens B30, Klasse - ab M300. Die Betonqualität für Frostbeständigkeit beträgt nicht weniger als F150, für Wasserbeständigkeit - W4 - W6. Zement und Inerte, die zur Herstellung von Beton verwendet werden, müssen die Anforderungen von SNiP I-B.3-62 und TP4-68 erfüllen. Die Größtkorngröße im Betongefüge sollte 20-40 mm nicht überschreiten. Kontrolle der Betonfestigkeit von Stützfundamenten gemäß GOST 10180-67 „Schwerbeton. Methoden zur Festigkeitsbestimmung“ und GOST 10181-62 „Schwerbeton“. Methoden zur Bestimmung der Beweglichkeit und Steifigkeit einer Betonmischung.“

Als Bewehrung werden Flachfundamente MF2x2,7-0 verwendet: warmgewalzte Bewehrungsstahlstäbe der Klasse A-I, warmgewalzte Bewehrungsstahlstäbe mit periodischem Profil der Klasse A-III, Stabbewehrungsstahl mit periodischem Profil der Klasse A-IV und gewöhnlicher Verstärkungsdraht der Klasse B1. Für die Montageschlaufen wird ausschließlich warmgewalzte Stabbewehrung der Klasse A-I aus Kohlenstoff-Flussstahl verwendet.

Die Fundamente von Stromleitungsstützen für den Energiebau stehen vor einer verantwortungsvollen Aufgabe – die Stabilität und Festigkeit von Stromleitungsstützen über viele Jahre hinweg bei unterschiedlichen klimatischen Bedingungen, zu jeder Jahreszeit und bei jedem Wetter aufrechtzuerhalten. Daher werden an Stützfundamente sehr hohe Anforderungen gestellt. Vor dem Versand an den Kunden werden Flachfundamente für MF2x2,7-0-Stützen nach verschiedenen Parametern geprüft, beispielsweise dem Grad der Stabilität, Festigkeit, Haltbarkeit und Verschleißfestigkeit, Beständigkeit gegen negative Temperaturen und Witterungseinflüsse. Vor dem Schweißen müssen die Verbindungsteile frei von Rost sein. Stahlbetonfundamente mit einer Betonschutzschichtdicke von weniger als 30 mm sowie Fundamente, die in aggressiven Böden errichtet werden, müssen durch eine Abdichtung geschützt werden.

Während des Betriebs unterliegen Flachfundamente MF2x2,7-0 einer sorgfältigen Überwachung, insbesondere in den ersten Betriebsjahren von Freileitungen. Einer der schwerwiegendsten Mängel beim Bau von Fundamenten, der unter Betriebsbedingungen nur schwer zu beseitigen ist, ist ein Verstoß gegen technologische Standards bei der Herstellung: Verwendung von minderwertigem oder schlecht gewaschenem Kies, Verletzung der Proportionen bei der Herstellung einer Betonmischung usw . Ein ebenso schwerwiegender Mangel ist das schichtweise Betonieren von Fundamenten, wenn einzelne Elemente desselben Fundaments zu unterschiedlichen Zeitpunkten ohne vorherige Oberflächenvorbereitung betoniert werden. In diesem Fall bindet der Beton eines Fundamentelements nicht mit einem anderen und es kann zu einer Zerstörung des Fundaments bei äußeren Belastungen kommen, die deutlich geringer sind als die berechneten.

Auch bei der Herstellung von Stahlbetonfundamenten für Stützen kommt es manchmal zu Verstößen gegen Normen: Es wird minderwertiger Beton verwendet, die Bewehrung wird in den im Projekt vorgesehenen falschen Abmessungen verlegt. Beim Bau von Stromleitungen auf vorgefertigten oder gepfählten Stahlbetonfundamenten können gravierende Mängel auftreten, die vom Energiebau nicht zugelassen werden. Zu diesen Mängeln zählen die Installation gebrochener Stahlbetonfundamente, deren unzureichendes Eindringen in den Boden (insbesondere bei der Installation von Stützen an Hängen von Hügeln und Schluchten), unsachgemäße Verdichtung beim Verfüllen, Installation vorgefertigter Fundamente kleinerer Größe usw. Zu den Installationsfehlern zählen fehlerhafte Installation von Stahlbetonfundamenten, bei der einzelne vorgefertigte Fundamente, die als Basis für eine Metallstütze dienen sollen, unterschiedliche vertikale Höhen oder Verschiebungen einzelner Fundamente im Grundriss aufweisen. Bei unsachgemäßer Entladung können Flachfundamente MF2x2,7-0 beschädigt werden, Beton abplatzen und Bewehrungen freiliegen. Bei der Abnahme ist besonders auf die Übereinstimmung der Ankerbolzen und ihrer Muttern mit den Bemessungsmaßen zu achten.

Unter Betriebsbedingungen werden flache Stahlbetonfundamente MF2x2,7-0 sowohl durch Umwelteinflüsse als auch durch große äußere Belastungen beschädigt. Die Bewehrung von Fundamenten mit Porenbetonstruktur wird durch die aggressive Einwirkung des Grundwassers beschädigt. Risse, die sich an der Oberfläche von Fundamenten bilden, dehnen sich bei betriebsbedingten Wechselbelastungen sowie Wind, Feuchtigkeit und niedrigen Temperaturen aus, was letztlich zur Zerstörung des Betons und zur Freilegung der Bewehrung führt. In Bereichen in der Nähe von Chemiefabriken verschlechtern sich Ankerbolzen und der obere Teil von Metallfußstützen schnell.

Ein Bruch des Stützfundaments kann auch durch eine Fehlausrichtung mit den Regalen entstehen, was zu großen Biegemomenten führt. Ein ähnlicher Zusammenbruch kann auftreten, wenn der Fundamentsockel vom Grundwasser weggespült wird und von seiner vertikalen Position abweicht.

Bei der Abnahme werden MF2x2,7-0-Flachfundamente auf Übereinstimmung mit der Konstruktion, Verlegetiefe, Betonqualität, Schweißqualität der Arbeitsbewehrung und Ankerbolzen, Verfügbarkeit und Qualität des Schutzes gegen die Einwirkung aggressiver Gewässer überprüft. Die vertikalen Markierungen der Fundamente werden gemessen und die Lage der Ankerbolzen anhand der Schablone überprüft. Wenn eine Nichteinhaltung der Normen festgestellt wird, werden alle Mängel vor der Verfüllung der Gruben beseitigt. Fundamente mit abgesplittertem Beton und freiliegender Bewehrung im oberen Teil werden repariert. Dazu wird ein 10-20 cm dicker Betonrahmen eingebaut, der 20-30 cm unter der Erdoberfläche vergraben wird. Dabei ist zu beachten, dass im Energiebau kein Rahmen aus Schlackenbeton zulässig ist, da die Schlacke eine Beimischung enthält Schwefel, der zu starker Korrosion der Bewehrung und der Anker führt Bei größeren Schäden an Fundamenten (auch monolithischen) wird der beschädigte Teil mit einer an die Bewehrung des Hauptfundaments angeschweißten Bewehrung abgedeckt und nach dem Einbau der Schalung betoniert.

Quadratische Gleichungen.

Quadratische Gleichung- algebraische Gleichung allgemeiner Form

wobei x eine freie Variable ist,

a, b, c sind Koeffizienten und

Ausdruck wird als quadratisches Trinom bezeichnet.

Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

1. METHODE : Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 10x - 24 = 0. Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Daher kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

(x + 12)(x - 2) = 0

Da das Produkt Null ist, ist mindestens einer seiner Faktoren Null. Daher wird die linke Seite der Gleichung bei null x = 2, und auch wann x = - 12. Dies bedeutet, dass die Zahl 2 Und - 12 sind die Wurzeln der Gleichung x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METHODE : Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 6x - 7 = 0. Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus.

Dazu schreiben wir den Ausdruck x 2 + 6x in folgender Form:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Im resultierenden Ausdruck ist der erste Term das Quadrat der Zahl x und der zweite das Doppelprodukt von x mit 3. Um ein vollständiges Quadrat zu erhalten, müssen Sie daher 3 2 addieren, da

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Lassen Sie uns nun die linke Seite der Gleichung transformieren

x 2 + 6x - 7 = 0,

addieren und subtrahieren 3 2. Wir haben:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Somit kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Somit, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 oder x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METHODE :Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

auf 4a und nacheinander haben wir:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Beispiele.

A) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Im Falle einer positiven Diskriminante, d.h. bei

b 2 - 4ac >0, Die gleichung Axt 2 + bx + c = 0 hat zwei verschiedene Wurzeln.

B) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, eine Wurzel;

Wenn also die Diskriminante Null ist, d. h. b 2 - 4ac = 0, dann die Gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat eine einzelne Wurzel

V) Lösen wir die Gleichung: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Wenn also die Diskriminante negativ ist, d. h. b 2 - 4ac< 0 , Die gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat keine Wurzeln.

Formel (1) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 ermöglicht es Ihnen, Wurzeln zu finden beliebig quadratische Gleichung (falls vorhanden), einschließlich reduzierter und unvollständiger. Formel (1) wird verbal wie folgt ausgedrückt: die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen plus minus der Quadratwurzel des Quadrats dieses Koeffizienten ist, ohne das Produkt des ersten Koeffizienten mit dem freien Term zu vervierfachen, und Der Nenner ist das Doppelte des ersten Koeffizienten.

4. METHODE: Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen.

Bekanntlich hat die reduzierte quadratische Gleichung die Form

x 2 + px + c = 0.(1)

Seine Wurzeln erfüllen den Satz von Vieta, der, wann a =1 sieht aus wie

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen (aus den Koeffizienten p und q können wir die Vorzeichen der Wurzeln vorhersagen).

a) Wenn das Halbmitglied Q gegebene Gleichung (1) ist positiv ( q > 0), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit gleichem Vorzeichen und dies hängt vom zweiten Koeffizienten ab P. Wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln negativ, wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln positiv.

Zum Beispiel,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Und x 2 = 1, als q = 2 > 0 Und p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Und x 2 = - 1, als q = 7 > 0 Und p= 8 > 0.

b) Wenn Sie ein kostenloses Mitglied sind Q gegebene Gleichung (1) ist negativ ( Q< 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit unterschiedlichem Vorzeichen und die größere Wurzel ist positiv, wenn P< 0 , oder negativ wenn p > 0 .

Zum Beispiel,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Und x 2 = 1, als q= - 5< 0 Und p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Und x 2 = - 1, als q = - 9< 0 Und p = - 8< 0.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung lösen 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Antwort 1; -208/345.

2) Lösen Sie die Gleichung 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Antwort 1; 115/132.

B. Wenn der zweite Koeffizient b = 2k eine gerade Zahl ist, dann ist die Wurzelformel

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Lösung. Wir haben: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Antwort: 2; 8/3

IN. Reduzierte Gleichung

x 2 + px + q= 0

stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, b = p Und c = q. Daher lautet die Wurzelformel für die reduzierte quadratische Gleichung

Nimmt die Form an:

Formel (3) ist besonders praktisch, wenn R- gerade Zahl.

Beispiel. Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 – 14x – 15 = 0.

Lösung. Wir haben: x 1,2 =7±

Antwort: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METHODE: Gleichungen grafisch lösen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung x2 - 2x - 3 = 0.

Zeichnen wir die Funktion y = x2 - 2x - 3

1) Wir haben: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel der Punkt (1; -4) und die Achse der Parabel die Gerade x = 1 ist.

2) Nehmen Sie zwei Punkte auf der x-Achse, die symmetrisch zur Achse der Parabel sind, zum Beispiel die Punkte x = -1 und x = 3.

Wir haben f(-1) = f(3) = 0. Konstruieren wir die Punkte (-1; 0) und (3; 0) auf der Koordinatenebene.

3) Durch die Punkte (-1; 0), (1; -4), (3; 0) zeichnen wir eine Parabel (Abb. 68).

Die Wurzeln der Gleichung x2 - 2x - 3 = 0 sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse; Das bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung sind: x1 = - 1, x2 - 3.